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有理函数渐近线的求法

在翻看美国公益教育机构 CK-12 的 Math Analysis 教材的时候,发现书中讲述了一种有理函数渐近线的求法,包括铅直、水平和斜渐进线。虽然以前老师在课上似乎提到过,但我见过的高中数学教材中,从未将这项知识作为单独的知识点来讲解,可能是比较简单的缘故吧。

于是我对书中的内容稍稍进行了整理,放在这里以供参考。

首先说明,有理函数是指通过多项式的加减乘除运算得到的函数,显然任意有理函数可以写成两个多项式之比,即

\(f\left(x\right) = \frac {g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\).

铅直渐近线

铅直渐近线的判断很简单,就是分母等于零时的自变量值. 例如求函数

\(f\left(x\right) = \frac {2x^{3}-2x^{2}+5}{3x^{3}-81}\)

的铅直渐近线,只需解分母等于 \(0\) 的方程

\(3x^{3}-81 = 0\),

即 \(x = 3\) 是 \(f\left(x\right)\) 的铅直渐近线.

另外,若该方程无实数解,即函数定义域为 \(\mathbb{R}\),那么该函数没有铅直渐近线.

 

水平渐近线

水平渐进线的判断依据是分母和分子的次数. 设分母次数为 \(m\),最高次项系数为 \(a\),分子次数为 \(n\),最高次项系数为 \(b\),则当

1. \(m > n\) 时,函数水平渐近线为 \(x\) 轴;

2. \(m = n\) 时,函数水平渐近线为 \(y = \frac{b} {a}\);

3. \(m < n\) 时,函数没有水平渐近线.

求函数

\(f\left(x\right) = \frac {2x^{3}-2x^{2}+5}{3x^{3}-81}\)

的水平渐近线. 注意到分子和分母的次数相等,故依据第 2 条规则,\(y = \frac{2} {3}\) 是 \(f\left(x\right)\) 的水平渐近线.

再来看一个例子. 求函数

\(g\left(x\right) = \frac {3x-2}{2x^{4}-9}\)

的水平渐近线,由于分母次数大于分子次数,故依据第 1 条规则,\(g\left(x\right)\) 的水平渐近线为 \(x\) 轴.

 

斜渐进线

求任意有理函数的斜渐进线,只需将函数表示为

\(f\left(x\right) = \frac {g\left(x\right)}{h\left(x\right)} = Q\left(x\right) + \frac {s\left(x\right)}{h\left(x\right)}\),

其中 \(Q\left(x\right)\) 是有理函数,\(s\left(x\right)\) 是常值函数.

由于当 \(x\rightarrow \pm \infty\) 时,\(\frac {s\left(x\right)}{h\left(x\right)} \approx 0\) ,所以 \(Q\left(x\right)\) 即为函数的斜渐进线.

给出一个例子,求函数

\(f\left(x\right) = \frac {x^{2}-1}{x-2}\)

的斜渐进线. 由于

\(f\left(x\right) = \frac {\left(x+2\right)\left(x-2\right)+3}{x-2} = x+2+ \frac {3}{x-2}\),

所以 \(y=x+2\) 是 \(f\left(x\right)\) 的斜渐进线.


由于本文是基于图书 CK-12 Math Analysis (978-1-935983-59-0) 改写的,依据原许可,遵守 CC BY-NC-SA 3.0
本文欢迎转载,但转载时请注明本文链接及作者,不得用于商业目的,并需要使用相同许可。


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1 Comment

  1. 从初二开始学函数数学就再没考过60分,看着就头疼

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